Пеш аз исботи теорема дурустии леммаи зеринро нишон медиҳем, ки он ҳамчун нишонаи доимй будани функсия маълум аст.
Лемма. Агар дар фосилаи (а; в) хосилаи функсияи F(х) айниятан ба сифр баробар бошад, яъне F'(х) = 0 барои хар гуна х(а; в), он гох F(х) дар ин фосила доимй аст.
И с б о т. Нуктаи ихтиёрии х0- ро аз фосилаи (а; в) интихоб мекунем. Барои хар гуна х аз ин фосила, мувофики формулаи Лагранж, чунин нуктаи с -и ин фосила ёфт мешавад, ки:
F(х) - F(х0) - F'(с) (х -х0).
Вале мувофики шарт F'(с) = 0 аст, пас F(х) = Р(х0) барои ҳар гуна х(а; в). Яъне, функсияи F(х) дорои кимати доимй аст.
Лемма исбот шуд.
Исботи теорема. Бигузор функсияхои Ф(х) ва F(х) барои функсияи f(х) дар фосилаи (а; d) функсияхои ибтидой мебошанд, яъне барои хар гуна х(а; в): Ф'(х) = /(х) ва F'(х) = f(х). Пас
(Ф (х) - F(х) '= Ф'(х) - F\х) = f(х) - f(х) = 0.
Аз ин ҷо ва аз лемма бармеояд, ки фарки Ф(х)- F(х) функсияест, ки дар фосилаи (а; в) доимй мебошад. Ин қимати доимиро бо С ишорат карда хосил мекунем:
Ф(х) = F(х) + С (1), ки он дурустии тасдики теоремаро нишон медиҳад.